作者：胖胖的小橘
他放下粉筆，轉過身。
“這是雅可比1828年給出的一個精確公式。”
“對每一個n，它有幾組解，看它的因子裡頭模4餘1的有幾個、模4餘3的有幾個，做一個差，再乘以4。”
“完事。”
臺下“嘶”地一聲。
有幾個研究生忍不住低聲嘀咕了。
“這……這是怎麼寫出來的？”
“這兩件事怎麼扯上的？”
李東笑了一下。
他抬起手，在黑板上寫了一組新的符號。
【Z[i]={ a + bi : a， b∈Z}】
“高斯整數。”
“a加b乘i。”
“a和b都是整數。”
“在這一個新的數系裡頭，你做一件事。”
“你把一個整數n，展開成它在Z[i]裡的素因子分解。”
他在黑板上畫了一個分支。
“在普通的整數里，5是素數。”
“可是在Z[i]裡，5 =(2 + i)(2– i)。”
“它分裂了。”
“3呢？在Z[i]裡，它還是素數，它不分裂。”
“7呢？也不分裂。”
“為什麼有的素數分裂，有的不分裂？”
他看了一眼章衡。
章衡的眼睛已經發亮了，然後大聲說道。
“模4餘1的分裂。”
“模4餘3的不分裂。”
李東點了點頭。
“所以r?(n)其實問的是什麼？”
“問的是把n在Z[i]裡頭分解成兩個高斯整數的乘積，有多少種分法。”
“這是高斯整數里頭的'除數函式'。”
“換一個數系，這個問題從'數解'變成了'數除數'。”
“換一個視角，這個問題就從'代數變換的組合問題'，變成了'數論裡頭熟悉的因子計數問題'。”
他停頓了一下，指了指邱嘉源
“這位同學，你剛才那一個面積估算說r?(n)的平均階是π。”
“你知道為什麼是π嗎？”
邱嘉源有些猶豫的說道。
“圓的面積公式。”
“是。”
李東搖了搖頭。
“也不是。”
“圓的面積公式，是一個表象。”
“你把這個解數函式r?(n)做一個 Dirichlet級數。”
李東在黑板上又寫了一行。
【Σ r?(n)/ n^s = 4·ζ(s)· L(s，χ)】
“它在解析上分裂成兩個東西的乘積。”
“一個，是黎曼ζ函式。”
“另一個，是模4那一個非平凡特徵的 Dirichlet L函式。”
“乘積的第一項，在s=1處有極點，留數等於1。”
“乘積的第二項，在s=1處的值，是π/4。”
“兩個一乘，就出了那一個π。”
“這才是為什麼平均階是π的原因。”
“那一個π，不是從圓裡頭掉出來的。”
“是從一個L函式里頭掉出來的。”
臺下的人現在已經懵了。
邱嘉源那一口氣沒緩上來。
他剛才答的“圓的面積”。
是這個L函式在s=1那一頭留下來的一個偶然事件。
李東轉過身。
“我們再退一步。”
“剛才那一個L(s，χ)是什麼？”
“它是把模4那個簡簡單單的奇偶性，翻譯成了一個解析物件。”
“這一檔東西，有一個名字。”
“它叫……自守L函式最初的、最最最低維的一個例子。”
“GL(1)上的自守L函式。”
他到此刻，一句“朗蘭茲”都沒提。
但是在場的研究生們，聽到這兒，臉色都已經變了。
他們意識到了。
這個看起來像是“小學生數題數解”的小遊戲。
是一個19世紀的數學家用最樸素的方式，觸碰到了20世紀最龐大的那一座山的山腳。
而這一座山，剛剛由這一位面前的少年，被命名了一塊新的山頭。
李東在黑板上，把那兩個公式之間畫了一根簡單的箭頭。
然後他看著臺下。
“我說這一節課不講朗蘭茲。”
“我沒騙你們。”
“我沒講。”
他笑了一下。
“但你們剛才聽見的每一個字，其實都在講。”
“問題沒變。”
“a?+ b?= n，解多少組。”
“答案在變。”
“代數視角告訴你，要換數系。”
“幾何視角告訴你，平均階是π。”
“分析視角告訴你，π來自於一個L函式。”
“它們其實是同一件事。”
“同一件事，只是被不同的人，用不同的語言，說了三遍。”
臺下安靜極了。
李東這個時候，語氣慢了下來。
“我以前有一位高中老師。”
“教我數學的。”
“他和我說過一句話。”
“原話當然我記不太清了，我就大概說說意思。”
“幾何也好，代數也好，分析也好，數論也好，組合也好。”
“它們看起來在不同的房間裡。”
“那只是因為給它們蓋房子的人，把牆砌起來了。”
“牆不是知識。”
“牆是為了教學方便。”
“你需要哪一個房間裡的知識的時候，順手把這面牆拆了就是了。”
“拆完了，房子就連成了一片。”
“今天這一節課，講的就是怎麼拆這些牆。”
教室裡安靜得能聽見後排的人咽口水的聲音。
李東抬起頭。
他的目光從臺下掃過。
“再過五十年，等你們當中有人坐到我現在這一個位置上，跟下一代講這一道題的時候。”
“我希望你們告訴他們的，不是雅可比怎麼寫出那一個公式。”
“也不是高斯怎麼數那一片整點。”
“是一句話。”
他停了一下。
“數學，從來都只有一種數學。”
“它穿過不同的窗戶，灑下了不同的影子。”
“我們做數學的人，一輩子要做的就只有一件事——”
他抬起頭。
“穿過那些影子，去找那一束光。”
教室裡頭，先是有那麼半秒的鴉雀無聲。
然後，有人先鼓起了掌。
緊接著，所有的人都跟著站起來鼓掌了。
五百多雙手。
拍出來的那一陣掌聲，像是要把光華樓的天花板掀起來一樣。
經久不息。
李東就站在講臺上。
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