作者：胖胖的小橘
臺下有人忍不住小聲地嘀咕了一句。
李東轉過身，在背後的黑板上一筆一劃地寫下了一行字。
【對每個正整數n，數一下：有多少對整數(a， b)，使得 a?+ b?= n？】
他寫完，轉過身來。
“很簡單一個問題啊？”
“小學生都會做。”
“那咱們就從小學生那一檔做起。”
他在黑板上開始往下列。
“n = 1。”
“a?+ b?= 1。”
“答案，(±1， 0)和(0，±1)，四組。”
“n = 2。”
“a?+ b?= 2。”
“(±1，±1)，四組。”
“n = 3呢？”
臺下一片低聲嘀咕。
李東笑了一下。
“零組。”
“為什麼？平方數mod 4，只能是0或1，加起來只能是0、1、2。”
“所以3不行。”
“n = 4，四組。n = 5，八組。n = 6，零組。n = 7，零組。n = 10，八組。”
他每報一個數，臺下記筆記的速度就越來越快。
李東把這一串記完，他轉過身。
“找規律。”
“哪一位起來給我說一說？”
臺下一陣安靜。
然後，後排坐著一個戴眼鏡的男生舉起了手。
李東一指。
“這位同學，起來。”
那個男生站起來。
後排坐著的幾個復大數院的本科生，一下子就轉過頭來看他了。
“靠，章衡也來了？”
章衡。
復大數院在讀博士，博三。
本科燕大，IMO 2018年銀牌。
現在跟著復大的一位長江學者做解析數論方向。
他整個人在數院裡頭，是屬於“導師下學期發論文掛二作”的那一檔穩的研究生。
此時的章衡站起來，清了清嗓子。
“這一組數，我感覺……”
“應該是和n本身的素因子分解有關。”
“3 mod 4的素數，如果在n裡頭出現奇數次，那就沒有解。”
“如果都是偶數次，就能寫。”
“再具體的次數，我得算一下。”
他答得不算慢。
這是搞解析數論的教材標準答案。
李東笑了一下，也沒說對不對。
“答得很標準。”
“再來一位。”
臺下又有一隻手舉了起來。
這一回是更後面靠門口的那一片。
一個大概二十一、二歲，圓臉，看著很活潑的男生。
“邱嘉源。”
旁邊人立馬就有人嘀咕。
“水木的那一位？”
“對，IMO 22年金牌，大三。”
“陶哲軒前幾個月還轉發過他一篇隨手寫的小筆記呢。”
邱嘉源站起來。
“我不從素因子分解走。”
“我從幾何走。”
“你這個問題，本質是問平面上以原點為中心、半徑為√n的那一圈圓周上，落了多少個整點。”
“如果把所有n的解加起來，那就是平面上到原點距離不超過√N的整點總數。”
“按面積估算，是πN左右。”
“高斯做圓內整點的時候，給出過這個估計。”
李東點了點頭。
“嗯，幾何視角，正確。”
“還有麼？”
臺下又有一隻手慢吞吞地舉了起來。
這一回是靠牆最邊上一個戴著鴨舌帽的女生。
李東朝她示意。
“這位同學。”
她站起來，聲音不大。
“我從生成函式走。”
“考慮θ函式θ(q)=Σ q^(n?)。”
“r?(n)，就是θ(q)?在 q^n這一項上的係數。”
“所以這個問題，本質上是研究θ?這一個物件。”
“……我只能走到這一步。”
她坐了下去。
李東在臺上“哎”了一聲。
“這一位同學，已經站在下一站的門口了。”
他衝她點了點頭。
“你這個方向，是對的。”
“只不過它通向的，不是這一道題的答案。”
“它通向的，是雅可比、克萊因、希爾伯特那一些人想了一輩子的另一座山。”
“咱們今天先把這一座山過了，再談下一座。”
這句一出來。
臺下那一群研究生。
有幾個突然就坐直了。
他們聽出來了。
李東說的“下一座山“。
就是模形式。
三位答完。
教室裡頭反而更安靜了。
按理說，這三個答案已經把這道題“三個最常用的方向“都答全了。
解析數論一個，幾何一個，模形式一個。
還能怎麼答？
李東在臺上看了看下面。
他嘴角微微地翹了一下。
“三個答案，都對。”
“但是都不徹底。”
“第一位學長的答案告訴你哪些n有解、哪些n沒解。”
“第二位同學的答案告訴你解的總數大概是πN。”
“最後這一位同學的答案告訴你，這東西最後能落到一個生成函式上頭去。”
“可是有一件事，他們三個人都沒答。”
他停頓了一下。
“對一個具體的n，它到底有幾組解？”
“精確的幾組。”
“解數到底是怎麼決定的？”
“既不是素因子分解的'有/無'。”
“也不是面積估算的'大概'。”
“當然更不是θ?這一個物件的唤y描述。”
“是一個精確到每一個n的閉形式的公式。”
臺下所有人此時都安靜的聽著。
他們這才意識到。
他們剛才答的三條路，都沒碰到這個核心。
有一種“我剛才答得很對，但是好像和你問的不是一回事“的尷尬感。
李東轉過身，在黑板上寫了一行字。
【r?(n)= 4·( d?(n)– d?(n))】
然後他在下面一行接著寫。
【d?(n)=#{ d | n， d≡ 1 (mod 4)}】
【d?(n)=#{ d | n， d≡ 3 (mod 4)}】
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