作者：胖胖的小橘
“幾乎處處相等嗎……”
朗蘭茲的嘴裡像在叨唸著這幾個字。
幾乎處處相等。
實分析裡最樸素不過的四個字。
可是這四個字落在這兒，分量卻是很重。
對關聯函式，承載的是零點的統計資訊。
而零點的統計資訊，是自守L函式最深的、最後才被人看到的那一面。
兩個尤拉乘積不一樣的自守L函式，零點集合會幾乎處處重合？
朗蘭茲的第一反應是……
不可能。
可他沒急著把這張紙放下。
他又看了看手中的A4紙。
弗蘭克就坐在對面。
沒有說話。
只是把第五杯咖啡，輕輕放到了老人的手邊。
朗蘭茲下意識地伸手去摸桌上的鋼筆。
他想試一試。
這種東西，就是一個Conjecture，是不是還能做一些很小的驗證啊？
朗蘭茲說不準。
但他總歸要伸手碰一碰，才知道它是一碰就破，還是一碰就立。
他抽過一張白紙，把鋼筆的套一擰開。
最先寫下的，是一個所有人都熟得不能再熟的情形。
迴圈基變換。
GL(2)在一個迴圈擴張E/F下的基變換，這是1989年他自己的學生亞瑟和克洛澤爾就已經幹完的事情。
π是GL(2，A_F)的一個尖點自守表示。
E/F是迴圈擴張，伽羅瓦群由一個特徵χ生成。
π的基變換π_E的L函式，可以寫成π被χ的各次方扭後的L函式的乘積。
L(s，π_E)=∏L(s，π?χ^k)
朗蘭茲的筆在“∏”這個符號上停了一下。
他要驗證的是充要條件裡的必要那一半。
在這個已經被證明的特例裡，李東那張紙上的結論應該是自洽的……
π_E既然是π的轉移，那它們的對關聯函式就應該幾乎處處相等。
老人很慢地在紙上算。
L(s，π_E)的零點集，是那幾個L(s，π?χ^k)零點集的並。
π_E的對關聯函式F_{π_E}(a)，形式上應該分成兩部分。
一部分，是每一個L(s，π?χ^k)自身零點內部的對相關。
這些跟F_π(a)形狀是一樣的，因為扭乘不改變GUE普適性。
另一部分，是不同的L(s，π?χ^k)的零點彼此交叉的相關項。
朗蘭茲的筆停住了。
這個交叉項。
按李東的判據，它在[0，4/n]區間裡應該消散成……
他慢慢地往後算。
算到一半。
他眉頭輕輕皺了一下。
弗蘭克看著他那皺起來的眉毛。
心也跟著提了起來。
又過了幾分鐘。
朗蘭茲那緊皺著的眉頭，才慢慢地鬆開。
交叉項裡，那個本來讓他覺得不對勁的地方，在李東那個e_v≤n的分歧指數限制下，會被狠狠地壓下去。
壓到幾乎處處為零。
朗蘭茲輕輕“嗯”了一聲。
必要方向的這一半，在迴圈基變換這個特例上，是立得住的。
但這還不夠。
因為必要方向太容易了。
函子性一旦成立，L函式相等，零點就相等，對關聯函式自然也相等。
真正讓他想伸手碰一碰的，是反過來的那一半。
兩個尖點自守表示，只要它們的對關聯函式幾乎處處相等，就一定由函子性關聯起來？
朗蘭茲拿起了一張紙。
他打算找一個反例。
一個一碰就能把這個猜想戳穿的反例。
他第一個想到的，是兩個伽羅瓦共軛的自守表示。
它們的L函式乍看之下很像，但它們之間的轉移並不屬於朗蘭茲函子性裡任何一個L-同態。
朗蘭茲笑了一下。
他覺得
自己這下，一伸手就能把這個看似完美的猜想戳破。
他低下頭，筆在紙上飛快的寫著，把兩個表示的對關聯函式一步步拆解、計算。
前後不到十分鐘。
老人手裡的筆，輕輕落在了紙上。
結果完全出乎他的意料。
這對看似天衣無縫的共軛表示，在李東的零點判據下，它們的對關聯函式根本做不到“幾乎處處相等”。
在一個極窄卻關鍵的區間裡，兩組數值會徹底分開，差異清晰到根本無法忽略。
它連猜想的核心前提都滿足不了，根本沒資格當反例。
朗蘭茲又換了一張白紙。
他試了第二個業內最刁鑽的漏洞武器：CAP表示。
這東西是個徹頭徹尾的偽裝者。
它長得和符合要求的尖點自守表示幾乎一模一樣，很容易混進前提條件裡，但它本質上是從更小的群上殘餘下來的“偽尖點”，天生就不符合朗蘭茲函子性的要求。
無數同行的工作，都因為沒防住這個偽裝者，最後功虧一簣。
可這一次，筆還沒寫幾行，朗蘭茲就停住了。
他甚至不用完整算完，就已經在心裡得出了結果。
李東的猜想，在進門的第一步就設了一道鐵閘。
“兩者均滿足自守表示區域性-整體相容性的零點判據”。
這個偽裝者，連這第一道安檢都過不了，直接被攔在了門外，連碰一碰猜想核心結論的資格都沒有。
弗蘭克就坐在對面，安靜地看著這一切。
其實他自己，早在四天前就已經對著這張A4紙，幹過同樣的事情。
他當時挑了幾個自己最熟的情形，想把這個Conjecture戳破。
結果戳了整整一個下午。
戳完以後，他坐在辦公室裡，望著窗外發呆了整整半個小時。
然後他才下決心，買了普林斯頓的機票。
此時朗蘭茲又換了一張紙。
這一回，他試的是一個更刁鑽的情形……
在非平凡L-同態下，兩個表示在絕大多數區域性位上區域性匹配，唯獨在有限個壞位上出問題的情形。
這種東西，在傳統的跡公式方法裡是最麻煩的。
但李東這個Conjecture不走跡公式。
它走的是零點對關聯。
零點對關聯是整體的東西，不看某一個壞位。
朗蘭茲看著手上算出來的那幾行。
半晌沒動。
最後他放下筆。
“了不起。”
老人低聲說。
“真的了不起啊。”
他抬起頭，看向弗蘭克。
“弗蘭克。”
“我這邊，沒有任何問題。”
弗蘭克整個人僵了一下。
他其實早有預感。
但是從朗蘭茲本人嘴裡聽到這句話，還是不一樣。
那意味著。
這個Conjecture，至少在他這個層面上，一碰沒破，反而立住了。
以後這個Conjecture，可以叫做“李氏猜想”了。
弗蘭克默默地點了點頭，站了起來。
他看了一眼桌上那杯又涼了的咖啡，又看了一眼牆上那口老鍾。
從上午進門到現在，老爺子幾乎沒怎麼站起來過。
光是論文就看了四個小時。
後面這張A4紙，又在紙上算了大半個小時。
弗蘭克很想繼續和他聊。
聊這張A4紙，聊這整篇論文，聊李東這個年輕人。
但他不能再聊了。
朗蘭茲這把身子，可扛不住這麼長時間的工作。
“教授。”
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