作者：模拟空心菜
6^(n-1)≡1(mod n)
2，3，6的最小公倍数是6，所以在对上面三项分别乘以3，2，1，则有6*2^(n-2)+6*3^(n-2)+6*6^(n-2)≡6（mod n），所以有2^(n-2)+3^(n-2)+6^(n-2)-1≡0（mod n）。
也就是说，对于an这个数列，当n>3时，总存在一个整数p能够整除an。
又因a1和a2能被2，3整除，所以与an每一项都互素的正整数只能为1，证毕。
少女盯着草稿纸看了三十秒，眼中疑惑尽消，但很快又涌出了新的疑惑，“你是怎么想到要用费马小定理来解这道题的，能给我讲讲思路吗？”
这道题她看懂只用了三十秒，可在考场，她花了一个小时也没有做出来！
“？”
“看到题目就想出来了啊？”
陈辉感觉有些棘手，这个问题跟让他证明1+1=2一样。
“难道不是吗？”
他看向一旁抬头偷看的李泽翰。
李泽翰把头摇得像拨浪鼓，“当然不是。”
“数论的定理还蛮多的，欧拉定理，费马小定理，威尔逊定理，华夏剩余定理，光是初等数论四大定理都得费一定功夫去试错，还有二次互反律、模p的简化剩余系、素数定理的初等版本、费马数相关定理……
我也是花了一些时间才找到正确解法的。”
说起数学，小胖子顿时自信起来。
学杂了！
陈辉恍然大悟。
魔都中学作为竞赛名校，对学生的培养还是很有经验的，自然不会出现因为前置知识没学到位，导致知识断层，从而知道定理却不会用的情况。
反而是因为脑子里装了太多的知识，书到用时反而恨多了。
归根结底还是学得不够扎实。
“你们会费马小定理的证明吗？”
陈辉回头看向身旁的少女，又转向李泽翰。
“那当然没问题！”
李泽翰拿起笔就在草稿纸上唰唰唰的写了起来，那个少女同样提笔。
能来CMO的，怎么可能不会证明费马小定理。
“还有呢？”
看着写出一种证明方法的两人，陈辉问道。
“还有？”
两人都茫然的看向陈辉。
陈辉不语，只是拿起笔，在草稿纸上再次推演起来。
李泽翰和那个女生使用的都是染色法，显然，两人都是同一个老师教的。
费马小定理的内容是，设p是素数，a是与p互素的任一整数，则a^(p-1)≡1(mod p).
证明：设p为与a互素的任一整数，则有p*a=a+2a+……+(p-1)a，既然p与a互素，那么a模p就只能是1到p-1。
再假设这p-1项存在同余，那么两项之差模p则为0，因为p是整数，所以两项之差必定与p-3项中的某一项相等，即(q*a)≡0(mod p)，与题设矛盾。
∴这p-1项是不同余的，
∴(1*2*……p-1)a^(p-1)≡(1*2*……p-1)(mod p)
∴a^(p-1)≡1(mod p)。
“还能这样？”
李泽翰两人看着陈辉草稿纸上简单的几列证明，再看看自己写了两张纸的证明，有些怀疑人生。
简洁而优雅！
相比起来，似乎陈辉写下的证明才更像数学。
但他们还是疑惑的看向陈辉，不知道这与刚才的话题有什么联系。
“你们学习费马小定理时，只关注了他是什么，怎么证明，然后就去刷题了，试图通过刷题掌握这个知识点，却没有去钻研为什么！”
“所以这些公式在你们脑海中自然就像是无根之水，即便记住了，在要用时也根本想不到，学数学，重要的不是记住了多少公式定理，而是，你有没有理解它。”
“证明过程对思维训练至关重要，数学归纳法、反证法等证明方法不仅是逻辑推演的体现，更是培养“数学直觉”的磨刀石。
如果你们深入探究过费马小定理证明原理，往往能通过“数论美感”快速识别题目中的同余结构，就也能像我一样，一眼就看出这道题应该使用费马小定理了。”
陈辉没有跟他们讲完全剩余系的概念，概念不重要，理解概念，很重要！
李泽翰两人若有所思。
【你的数学等级有2级75提升到76%】
刚回头，陈辉眼前弹出弹幕。
陈辉有些意外，却也在意料之中。
给别人当老师本来就是对自己所学的梳理过程，如果一个知识点，你能给别人讲清楚，那么你就算是真正掌握了这个知识点！
在讨论中更是可能激发灵感，这也是为什么那么多实力强大的数学家还愿意收学生的原因，教学的过程，也是自己成长的过程。
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