作者：橘子汽水西瓜味
“我想要试着亲身体会你感受到的那种感觉，想要看一看这个黑暗的未知世界究竟是什么模样。”
“嗯，我已经决定了，在那亿万纪元的枯燥数数中，我已经想清楚自己想要的是什么了。”
不可知的混沌世界中，李恒没有再继续劝告，只是表情冷淡地微微颔首，接着言简意赅地道：
“如你所愿。”
一个白色的圆环出现在这个世界中，它将周围那不可直视的混沌排开，展现出自身那圆满无缺、无缺无漏的光滑形状。
数学意义上理想的圆。
一个容纳着实数连续统的圆环，代表着不可数无限集合阿列夫一的庞大力量。
“它看起来很好吃。”
阿基里斯望着这个无缺无漏的完美圆环露出了笑容。
人都是会改变的。
以前的她只是吃烤牛排和糖葫芦就能满足，后来的她吃到了营养更丰富的莎布尼古拉斯和康托尔的红枣。
现在她对食物的要求进一步提高了，她想要和李恒吃一样的食物。
一个容纳着实数连续统的完美圆环，以此作为她生命最后的终极美食。
完美的白色圆环缓缓飘起，落到了阿基里斯的头上，恰到好处地与她头顶上的那根呆毛碰到了一起，像是一个白色日光灯圈一样稳稳地挂在那里。
片刻以后，阿基里斯眨巴了两下眼睛，一脸疑惑地问道：
“奇怪，我已经触碰到了连续统，怎么还活着呢？”
她还以为自己的故事应该到这里就结束了，就像那三次数学危机一样。
“谁跟你说到此为止了？”
“三次数学危机结束，又不是连续统问题的结束。”
李恒用看傻子的眼神看着她。
“我们讨论的一直都是连续统问题，而不是数学史，只不过正好这历史上的这三次数学危机都与连续统问题有关而已。”
那你刚刚还一本正经地做出一幅交代后事的模样！
阿基里斯被这看傻子的眼神看得有些尴尬，心中一阵无语。
那一大堆讲人生观、价值观的大道理说出来，怎么想都是要让她做出最后的选择了吧。
亏她还觉得自己以一个完美的圆作为生命最后的终极美食很浪漫呢。
抬手摸了摸脑袋上挂着的日光灯圈，指尖感受着那完美无缺的光滑触感，阿基里斯问道：
“所以，我脑袋上挂着的这玩意是个假的圆？”
好像确实有些不太一样。
她没有从这东西上感受到李恒身上特有的那种“人类愿望的终极集合”的神奇吸引力。
虽然这个圆环的确比她之前见过的一切事物都更完美，但似乎还不够完美。
李恒没有直接回答，他手掌一翻，掌心中出现了一块颜色红润的切片香肠。
“不可定义数，是指无法用有限的字符进行准确定义的数。”
“关键不仅在于有限，更在于准确定义的概念，也就是能给出一个具体确定的算法。”
“即使这种算法不可能在图灵机上用有限的时间运行完毕，有着无限的算法复杂度。”
“在处理根号2和π等等可计算的无理数时，虽然无法具体知晓这些无限不循环小数的每一位数字，但却能给出具体计算的算法。”
“因此可以认为，这些数字是完全确定的，将它们压缩成一个简单的算法没有任何的信息损失。”
“但是，真正处理现实世界时，几乎不会有这种理想的确定状况。”
“在面对太过复杂的事物时，为了得出有意义的结论，人类不得不放弃这种完全确定的精确性。”
“举个例子，理论上只要有了皮亚诺公理的基础规则，就能以此计算出全体自然数，得到自然数世界一切可能的情况。”
“它可以推出牛顿力学、量子力学和广义相对论，也可以推出薛定谔波动方程。”
“利用薛定谔波动方程，又可以计算原子的核外电子轨道，以此计算所有物质的化学性质。”
“有了所有物质的化学性质，又可以推出所有蛋白质、基因、细胞的运转方式。”
“然后，又可以在此基础上推出世间一切生物的情绪与思想，从而预测智慧生物和文明的轨迹。”
阿基里斯听明白了，这说的不就是理想中的拉普拉斯妖么。
从一个简单的规则出发，计算出这个规则体系下的一切可能性。
但实际上这根本不可能做到，只有无限算力的超图灵机才能做到这种事。
“我们之前讨论的不可知，是以准确定义为前提的。”
“理想状态下的图灵机并不考虑宇宙资源有限、人类文明毁灭、宇宙热寂等等限制状况。”
“不可计算与不可定义数的存在表明的结论是，即使将条件放宽到人类不受资源和时间限制的状况下，也有一些知识是人类永远无法具体知道的。”
“但这不代表有限的人类对那个黑暗未知世界一无所知了。”
“比如说，知道有哪些知识是人不可能知道的，这也可以算是一种知道。”
『知道』和清晰明了的『理解』是不一样的，清晰明了的理解和计算出一切可能性的『全知』也是不一样的。
不可定义数只是否定了有限的人类全知的可能，它只不过是让人类又回到了那个处处受限的世界里。
阿基里斯头上的呆毛转动了两下，带动着那个完美的白色圆环像是蚊香圈一样上下晃动。
“我懂了，我们之前讨论的东西就好像是让一个懂汉字的人写出所有的诗词歌赋一样。”
“就算这个人对汉字十分精通，人类大脑的限制也不可能允许他做到这种事。”
“想要研究那些未知世界，必须损失精确的确定性。”
“虽然有限的人类不可能具体地描述那些不可定义数，但这不代表人类就对不可数无限集合一无所知了。”
超图灵机的这种『全知』只是理想状况，处处受限的状况才更符合人类认知客观世界的思想。
人看书时看到的每一个文字都是由亿万个原子构成的复杂结构。
但人脑每秒只能接收不到10^8比特的信息，主观意识到的部分更是只有其中的百万分之一，不过区区十个汉字的信息量。
作为有限的人，只能用自己狭窄的视野观察到世界有限的一小部分，并从其中找到对自己有意义的那些信息，不可能看到全部的世界。
对事物进行概括性的抽象总结，忽略大部分细节，只关注其中的一小部分信息，这才是人类大脑天生的本能。
只不过，面对着不可数无限集合，人类忽略的信息远比亿万个原子的细节要多得多。
做个类比的话，有限的人类就像是一个只有一秒钟记忆的人，最多只能记住十个字的信息量。
这么点信息量，也就只能看个书名，连简介都看不完。
《石头记》和《红楼梦》是同一本书，但只看书名哪里能明白。
“连续统问题是一个不可判定问题，它与人类常用的集合论公理相互独立。”
“对于有些人来说，得出这个结论就足够了。”
“既然已经确定了连续统问题不可判定，那就没有什么继续研究的意义。”
“所谓的实数、微积分、连续统都不过是人类设计的符号，没有什么客观对应的东西。”
“有些人则不然，比如哥德尔就不这样认为。”
“他是一个柏拉图主义者，认为集合论概念和定理描述了一个完全确定的实在，在其中连续统假设一定是或真或假。”
“源于已接受公理的对它的不可判定性，只能意味着这些公理没有完备地描述那个实在。”
“从已接受的集合论公理出发得到的不可判定性的证明，绝不是问题的解决。”
这就是哥德尔纲领，它带来了所谓的内模型计划，传说中的终极L。
在人类普遍接受的集合论公理体系中增加新的公理，将模型扩充，从而在更大的模型中解决那些原来不可判定的问题。
这一纲领的关键不仅在于集合论公理的扩张，更在于这种扩张的唯一性要求，认为连续统只有一个唯一确定的基数。
“除此之外，对连续统问题的解答还有另一种想法，连续统在不同的数学体系中有不同的基数。”
“这就是集合论多宇宙观的立场。”
“这一观点认为，集合论发展的现实表明，实在论者所期望的连续统问题的理想解决方案已经不可能了。”
“集合论更应该着眼于探求各种独立性命题在哪些集合论宇宙中是如何成立的，以及这些集合论宇宙之间的关系。”
李恒抛起手中的那块切片香肠，将它放到眼前，看着它上面如同恒星喷流的花纹笑了笑道：
“无论是哪一种观点，有限的人类所能真正看见的都只是一块切片香肠。”
“他们无法确定自己研究的到底是一块香肠，还是一颗看起来长得很像香肠的恒星。”
阿基里斯看着那块香喷喷的香肠切片，她发现这块香肠的确和恒星长得很像。
在研究不可数无限集合的时候，无法像是观察宇宙中的恒星一样，做到越来越精确的观察，得到更多的具体信息。
因此也就无法确定自己看到的到底是一块切片香肠，还是来自一颗宏伟恒星的遥远投影。
“你是什么想法？”
既然他的身体容纳着连续统，那么他应该可以做到判定连续统的基数大小。
李恒转头看向阿基里斯。
“我的想法？”
“终极L具有种种良好的性质，它精确，完美，很符合人类眼中的优雅美丽。”
“但在我看来，这种完美就和经典力学中万物可计算的完美一样，太过确定了。”
“正如我一直跟你说的，所有的可能性都发生了。”
“这种多元宇宙的世界观在物理世界中成立，在数学世界中也成立。”
“我并不赞同哥德尔的立场，认为连续统具有唯一确定的基数。”
说罢，他伸手从阿基里斯的脖子上摘下那枚粉白色的螺旋状钥匙，将那看不到大小的尖端指向了她脑袋上戴着的完美白色圆环。
“记得我一开始跟你说过的吗？这个世界里没有人能追得上芝诺的龟。”
“就算是这个容纳了不可数无限集合，拥有着阿列夫一力量的圆环，同样也不行。”
粉白色的螺旋钥匙尖端与完美的白色圆环碰撞到了一起。
咔嚓！
清脆的碎裂声在这片不可知的混沌世界中炸开，完美的白色圆环突然断裂，瞬间收缩成一个看不到大小的小点。
“在这个世界里，连续统的基数不是阿列夫一。”
第725章 追不上的乌龟
连续统的基数不是阿列夫一。
阿基里斯回忆着之前那张纸上列举着超图灵机力量层次的图灵度层级，表情疑惑地问道：
“可是，之前在那张图表上，你不是在无限时间图灵机的下方划了一条线，并且写下了实数连续统吗？”
在那张图灵度层级的图表上，所有的超图灵机都属于可数无限的层次，唯有最末尾的实数连续统是不可数无限。
这样看来，康托尔的连续统假设在这个世界里应该是成立的。
自然数集合的幂集，全体实数构成的集合，全体可数序数构成的集合，三者的基数都是不可数无限N1。
“不，等等，我好像明白了！”
阿基里斯看了眼自己脑袋上顶着的那个日光圆环散发的白光，突然反应了过来。
“你在那张纸上写的是实数连续统，而不是连续统。”
“你的意思是说，在这个世界里，即使是所有的实数，依然无法填满整条数轴？”
李恒点点头道：
“不错。”
“其实这也不难想到，第二次数学危机就是实无限和潜无限的混乱带来的危机——更准确的说，是无穷小量和0之间的矛盾。”
“莱布尼茨就在自己的微积分中使用了实无穷小，这也是贝克莱主教攻击微积分理论基础的主要方向。”