作者：橘子汽水西瓜味
第一条，任何一致的形式系统，只要蕴含皮亚诺算术公理，就存在一个在系统中不能被证明的真命题。
如果一个命题为真，直觉上总是可以在系统内被证明出来，而不完备性定理否认了这一点。
第二条，任何一致的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就不能证明其本身的一致性。
也就是说，一个公理系统的自洽性是无法在自身体系内被证明的，必须依赖于更高阶的系统。
在皮亚诺算术公理定义的自然数系统中，古德斯坦定理就是这样一个例子。
它是一条有关于自然数的命题，但在定义这个命题的公理系统内部，却无法证明这个命题。
该定理可以在更高阶的系统下证明为真，但在皮亚诺算术系统内是不可证的。
连续统假设也是这样一个问题。
连续统问题追问的是实数子集的大小，其相关命题以实数子集为概括对象。
每个实数相当于一个自然数子集，连续统问题所谈论的对象就成了全体自然数子集所构成的集合的子集。
将直接概括自然数的算术称为一阶算术，以自然数子集或者实数为概括对象的算术为二阶算术。
那么连续统问题就属于三阶算术。
康托尔是在由戴德金分割定义的实数系中发现的连续统假设，但这个问题在实数模型内部却是不可判定的。
哥德尔形式证明了连续统假设的一般形式与ZFC公理是一致的。
如果把连续统假设作为公理加入集合论的这些公理中，不会产生任何逻辑矛盾。
科恩证明了一般的连续统假设的否定命题也可以加入ZFC中而不产生矛盾。
因此，连续统假设与标准的集合论公理是互相独立的。
它类似于平行公理相对于欧几里得几何的其他公理的地位，集合论的标准公理既不能证明也不能否定它。
根据连续统假设是否成立，可以像是欧几里得几何与非欧几何一样，构造出不同的集合论系统。
这就是康托尔失败的原因。
连续统假设的逻辑独立性就意味着它既不为真又不为假。
集合论中乱成一团的悖论和不可证性可以说是允许非构造的概念——尤其是实无穷，进入数学的自然后果。
第720章 不可知，不可论
自我指涉的悖论确定了理性的边界。
在任何数学体系中，总有一些东西无法从自身体系内部证明或证伪。
它揭示出在人类的逻辑中，全知全能的神不存在，绝对无限也不存在。
如果强行设定一个包含一切的唯一神，创造一个能破除自指悖论的全能上帝，那这个体系就必定是不自洽的，充满了自相矛盾的东西。
因为神是全知全能的，所以神可以创造自己举不出来的石头。
因为神是全知全能的，所以从皮亚诺公理可以推出1=0。
反正只要神认定的就是绝对的。
一个自相矛盾的体系中，一切命题都可以为真，也都可以为假。
在这种不自洽的体系里，所有的命题都没有真假对错可分，跟疯子的胡言乱语没什么差别。
这种强行设定只会变成单纯的神学信仰。
这也是数理逻辑和神学最大的区别。
神学否定排中律与自指悖论，直接承认全知全能。
成为信徒的第一步就是抛弃自己的逻辑思维，认可神是绝对正确的，可以做到人类逻辑中自相矛盾的事情。
都已经承认全知全能，允许自相矛盾的东西存在，那也没什么继续讨论的必要了。
信仰的力量很强大，宗教也在地球的人类史上留下了深刻的痕迹。
但人类所在的无垠宇宙并不在乎地球上几十亿人的宗教信仰，它有自己的规则。
允许自相矛盾的全知全能在宇宙的自然规律面前终究是无能为力，不过是自娱自乐。
数理逻辑则肯定排中律，抛弃了数学的完备性，承认数理逻辑并非绝对真理，任何数学系统都存在着缺陷。
以不自相矛盾作为讨论的前提条件，那就没有绝对无限。
于是也就没有什么绝对无敌、绝对永恒、绝对永生之类能被冠以绝对之名的东西。
无论是多强大的存在，总是存在不受掌控的外部世界，有着自己无法占据的未知可能性。
“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”
“自指悖论否定了至大无外的绝对无穷，连续统问题则是对至小无内的研究。”
“自然数集是第一个无限集合，集合中有无穷个元素，但其中的每一个元素都是一个有限的自然数。”
“将它称为一阶算术，对应可数无限。”
“实数集是自然数集的全体子集构成的集合，有不可数无限个元素，但每一个元素都是可数无限。”
“将其称为二阶算术，对应不可数无限。”
“连续统问题研究的是实数集的基数，实数集作为不可数无限，是更高层级的集合中的元素。”
“因此它是一个三阶算术问题，人类使用的大多数算术系统对它都无能为力。”
李恒总结了一遍连续统问题，接着用食指敲了敲桌子道：
“复杂的数理逻辑暂时就到此为止，接下来讨论一些更简单的东西。”
“虽然排中律的限制否定了绝对无限和宗教意义上全知全能的唯一神。”
“但这个世界上确实存在着与有限的凡人位于两个世界，足以被称为神的领域。”
“道可道，非常道；名可名，非常名。”
“能用人类的语言表述出来的道并不是永恒常在的真正的道。”
“在人类可以言及的宇宙之外，还有着更广阔的未知永恒世界。”
“有限的人能掌握宇宙的物理规律，用短短的几行公式描述无限宇宙的规则，本质上是因为实无限比有限的状况更简单。”
“无限的复杂度比有限的复杂度更低，因此无限宇宙的运转规律才可以被压缩在一张普通a4纸上的数学公式中。”
“这些数学公式就是描述无限宇宙的最简算法。”
“但是，所有的实无限复杂度都比有限的状况更简单吗？”
“所有无限的实体都可以像是圆周率π一样被压缩、简化，变成一小段精确的数学公式，却不丢失自身的任何信息吗？”
说到此处，李恒向着靠在壁炉旁的阿基里斯缓缓地伸出了右手。
那散发着不祥气息的手掌慢慢靠近，带着阿基里斯此前从未感受过的压迫力，仿佛是来自某个黑暗不可见的深渊。
无论是一念毁灭无尽星域的毕达哥拉斯，还是化作恢宏大日照耀着无穷小的无理数世界的牛顿和莱布尼茨两大天尊。
这些强者在这不祥气息带来的恐怖压迫感面前完全是小巫见大巫，根本不在同一个层次。
“……不祥气息是个什么鬼啊？”
阿基里斯微微甩了甩脑袋，努力将这个突然冒出来的奇怪想法甩了出去。
随着时间的推移，这些奇怪的想法越来越多，不停地从脑海深处冒出来。
它们来的是如此的自然，让她感觉似乎就是自己的想法，却偏偏有着不合理的奇怪内容。
这让她清晰地感觉到自己正在窥探某个位于人类智慧边界之外的诡异之物。
并且，她正在逐渐被那个不可直视的庞然大物散逸出来的些许信息淹没、同化。
阿基里斯压下身体的本能恐惧感，不闪不避地看着那只手掌抓住了她胸前挂着的粉白色螺旋状吊坠。
她脸上做出若无其事的表情，开口问道：
“超图灵机？”
这个词她很早就听过了，只知道这种机器几乎可以和“实无穷”的力量划个等号。
但每一台超图灵机的力量究竟有多强，与同样属于可数无限的自然数、有理数、代数数之间又有什么关系，那她就不太清楚了。
“嗯，比起哥德尔不完备定理，超图灵机要更容易理解一些，是相对而言更为具体的东西。”
李恒拿过那枚粉白色的螺旋状吊坠，将它放在了面前的那张报纸上。
“解决了第三次数学危机以后，人类对于无穷的认知比康托尔的朴素集合论更清晰了。”
“与哥德尔不完备定理很类似的问题是停机问题，即判定一台图灵机是否能正确地完成计算并停机的过程。”
“这个问题是不可判定的，它同样涉及到自我指涉的悖论，也就是这台图灵机自己判定自己能否停机。”
“但是，就像数理逻辑中那些不可证明的问题可以在更高阶的系统中解决一样，停机问题并非是绝对不可解决的问题。”
“能够解决一切图灵机的停机问题的计算机器，就被称为超图灵机。”
李恒指了指桌上的那台芝诺机道：
“有没有觉得和集合论里从自然数到全体自然数集合的情况很相似？”
阿基里斯点了点头，两者的情况的确很像，明显有着紧密的联系。
“计算，本质上就是一系列的是、否判定过程。”
“哥德尔不完备定理的证明方法就是如此，通过将形式符号转化成对应的哥德尔数，把推理证明变成机械的计算过程。”
“图灵的做法也很类似，他将图灵机标准化到可以用一个整数来唯一确定一台机器，这一整数将机器的所有状态进行了编码。”
“每一个整数都是有限的，它们是由一连串的判定得到的有限序列，属于图灵机的能力范围。”
“所有图灵机构成的集合就是全体整数的集合，也就是可数无限N0。”
“每一台图灵机都能执行一个特定的算法，但所有图灵机构成的集合与不可数无限N1无法形成一一对应。”
“因此，被人类称为实数集的集合中，显然存在着不可数无限个不能用图灵机通过有限次计算写下的数。”
“将那些可以被图灵机计算的序列称作可计算序列，这些序列构成的数就是可计算数。”
“自然数，整数，有理数，代数数，以及圆周率π、自然常数e等等超越数，它们都属于可计算数。”
“人类所知的无理数，虽然它们都是无限不循环小数，但它们的算法复杂度却很低。”
“一个很简单的算法就能生成一个确定的无理数，它们属于可以被压缩简化的简单实无限。”
“描述这些可计算的无理数就像是人类总结无限宇宙的物理规律一样，可以将无限的信息压缩成短短的一个数学公式而不损失任何信息。”
李恒用食指在报纸上划了一条线，分割开了上下两个世界。
在这条线的上方是一大堆紧紧地挤在一起、密不可分的微小字符，在这张报纸上占据了极为可怜的篇幅，不用显微镜都看不清具体细节。
它们是从生命1.0～生命5.0的不同战斗力等级。
战斗力等级9级的一级文明，18级的二级文明，30级的三级文明，大于10^40级的黑洞生命体，以及战斗力等级潜无限的信息生命体，全都在这条线的上方挤作一团。
在这条线的下方，就放着那枚粉白色螺旋状吊坠，一台芝诺机。
“不可计算数不是简单的实无限，它们是不可被压缩简化的。”
“每一个不可计算数的算法复杂度都是无限。”
“万物源自量子比特，物理宇宙的客观存在就等价于信息计算，有限的人类的智慧就等价于只能进行有限次计算的图灵机。”
“不能被图灵机写下的不可计算数，同样也不可能被人类的大脑计算。”
“无论这个人是地球上的普通碳基生物，还是超越可观测宇宙边界，以亿万星辰为细胞的文明级生命体。”
知识就是力量，全知即是全能。
有些知识太过沉重，必须要无穷的信息和能量才能承载。
这些沉重的知识位于一切有限领域生灵的认知范围之外。
那里是一个明知存在，但却永远不可知晓具体形貌的未知黑暗领域。
生命1.0阶段的草履虫。
生命2.0阶段的智人文明。
生命3.0阶段的掌握完美基因编辑能力的人类文明。
生命4.0阶段超越光速限制，没有体型上限和通讯速度限制的文明级生命体。