作者：橘子汽水西瓜味
1→1，2→4，3→9，4→16，……n→n^2……
在直观上看来，全体完全平方数显然是自然数的一个真子集。
但通过在自然数和完全平方数之间建立一一对应，伽利略发现自然数和完全平方数的数量是一样多的。
这种矛盾之处完全违背了欧几里得的公理“整体总是大于部分”，也是有限的人类认为他们无法处理无限的重要理由之一。
既然存在明显的矛盾之处，那么实无穷显然是不存在的。
根本没有一个已经完成的“全体自然数”集合，只有无限延伸、永远数不到尽头的自然数。
“问题在于，无穷的这种性质是否真的有矛盾之处？”
“如果说过去人类还可以用潜无穷的思想把∞抛在一边，但随着微积分和实数理论的建立，一个描述实无限的理论已经迫在眉睫。”
“每一个无理数都是一个已完成的无穷序列，如果没有实无穷，那就没有无理数，微积分的理论基础也就完全消失了。”
李恒再次伸手从枣树上摘下一颗枣子，这一次他直接塞到自己的嘴里吃了下去。
“康托尔不认为这种性质是有矛盾的，虽然它违反了人类一直以来的直觉，但却并不违背逻辑。”
“所谓的矛盾，只不过是人类将处理有限数的方法推广到了无限之上，这就像用牛顿的运动定律去处理接近光速的高速物体一样。”
“在他看来，对于数学来说，只要一个理论是一致且相容的，没有自相矛盾之处，那它就是可以被接受的，除此之外没有其他多余的标准。”
“因此，康托尔将部分与整体一样大、集合的真子集与自身一样大作为无穷集合的基本性质。”
“有了一一对应的方法，那么很容易就能得到以下结论：奇数、偶数、素数、整数，这些数构成的集合都能与全体自然数形成一一对应。”
“它们的数量都是一样的，有着同样的基数。”
“整数和自然数的基本特征就是可以一个接着一个地列出来，知道了前一个数就能写出后一个数，康托尔将这种性质称为【可数性】。”
“于是，具有和全体自然数集合相同基数的无穷大就被称为【可数无穷】。”
“这就是第一个超穷基数N0”
“其他无穷集合的基数可以通过这个基准的基数来计算，也就是把它们与N0比较，看看它们是否能和自然数建立一一对应。”
对无穷集合，绝不可能真正完成配对的过程。
只要能建立一个一一对应的操作程序，使得对第1个，n个，和（n+1）个成立，就可以通过数学归纳法证明，这种对应对两个集合从头到尾都成立。
有了作为基准的可数无穷，接下来的难题就是对于有理数的处理。
有理数看起来处处稠密，在直觉上根本无法像是自然数和整数一样一一列举出来。
但无理数的存在表明有理数并不连续，依旧是离散的。
既然如此，那么有理数或许也能用某种方式像是自然数一样一一列出，基数同样是可数无穷。
“想要证明这一点，需要用一种方法将有理数排列成类似自然数的形式，这种方法被称为集合的可数化。”
“每一个有理数可以表示为p/q的形式，简单起见，只选择正有理数，对于无穷集合这种处理不会影响结果。”
康特尔首先将这些有理数排列成一个二维矩阵的形式。
第一行是所有p/1形式的有理数，也就是所有的整数。
第二行是所有p/2形式的有理数，第三行是所有p/3形式的有理数，以此类推。
然后在这张二维矩阵上画了一条Z字形的线，将矩阵上列出的所有有理数排列成一行。
1，2，1/2，1/3，2/2，3，4，3/2，2/3，1/4，1/5，2/4，3/3，4/2，5，6……
将这个有理数序列中所有重复的非最简形式分数去掉，得到一个有理数序列：
1，2，1/2，1/3，3，4，3/2，2/3，1/4，1/5，……
所有的有理数完成了可数化，能够与自然数集合完成一一对应。
因此，看似无穷稠密的有理数的数量与自然数相等，依旧是N0。
阿基里斯咀嚼着口中的红枣，她汲取着其中的信息，接着有些惊讶地问道：
“就算加入了比有理数多得多的无理数，额，这里把它们叫做无理代数数，依旧还是可数无穷？”
她在这颗红枣里看到了一个名为刘维尔的数学家做的有关于代数数和超越数的证明。
一个实数如果是某个具有整系数的多项式方程的解，就把它称为代数数。
根号2是代数数，因为它是整系数二次方程x^2-2=0的一个解。
有理数就是一次整系数方程的解，代数数代表着有理数的扩充。
刘维尔不等式是一个有关于无理代数数和有理数的不等式。
通俗来说，这个不等式表明有理数作为无理代数数的邻居，其数量少得可怜。
“没错，无理数之间也是不一样的。”
“如根号2、根号3等实代数数同样可以像有理数一样进行可数化，因此虽然它们比有理数多得多，但数量还是与自然数一样多。”
李恒从口袋里掏出那条白色的数轴，用手指敲了敲上面那些意义不明的奇怪符号。
“所以，真正让实数轴具有连续性的不是无理代数数，而是那些更奇怪的超越数。”
“说回实数集的基数，康托尔用来证明实数集不可数的方法是反证法。”
首先假设实数集是可数的，可以用类似于上面使用过的可数化方法，将所有的实数都列举出来。
①X1.a1a2a3……
②X2.b1b2b3……
③X3.c1c2c3……
通过一一列举的方法，列举出一个有着无穷个无限小数的数表。
想要证明这张数表无法列举出所有实数，就要构造出一个反例，表明它不可能出现在这张表里。
这种方法被称为对角线证明。
令一个实数R的小数部分为（a1-1），（b2-1），（c3-1）……当0-1时令其为9。
这个实数R小数点后的第1位与列表中的第一个实数的第一位不同，小数点后的第2位与列表中的第二个实数的第二位不同。
以此类推，实数R小数点后的第n位与列表中第n个实数的第n位不同。
这就是这个证明被称为对角线法的原因，新的实数R所取的小数来自列表中全体实数的一条对角线上。
最终，这个新的实数与列表中的每一个实数都不同，一张无限长的列表也无法写出全部的实数。
由此得出与假设不同的矛盾，从而证明实数是不能可数化的。
实数集与自然数集无法一一对应，它是一个比可数无穷更大的无穷。
如此便有了三个基本的层次：
有限，可数无限，不可数无限。
康托尔将连续统的基数称为c。
在这之后他做了一些更深入的证明，即线段=直线，直线=平面。
实数轴【0，1】区域点的数量与整条实数轴一样多，线、面、体都是等价的点集，基数都是连续统的基数c。
它们都是一样的无限大，维度差异根本无关紧要。
这意味着能够用一个坐标来唯一确定一个n维连续空间的点，而不需要随着维度增加而添加更多的空间坐标。
“这个问题有些超纲了，我们当前探究的只是实数轴和连续统，关于线=面=体的反直觉问题暂且略过。”
李恒的脸颊鼓起来一小块，这让他看起来有些像是在吃花生的仓鼠。
嘎嘣嘎嘣的清脆声响在这间无人的庭院中响起，阿基里斯抬头看去，那棵大红枣树上面的红枣已经只剩下寥寥几个，看起来有种荒凉感。
那些红枣小部分到了她的肚子里，大部分都被李恒吞下了肚。
还好康托尔不在这里，不然大概要跟他们这两个不告而取的家伙打上一架。
以己度人，要是他自己种的红枣被陌生人跑进来吃了个精光，那她肯定要气的半死。
“不，他一直在边上看着咱们。”
李恒抬手指向枣树的根部。
“这是个脾气很好的老头，跟挂在天上的那个大太阳不太一样。”
阿基里斯闻言看向枣树，她握住胸前的螺旋状钥匙，用那个看不到具体尖端的小点对准了那里，终于看到了躺在枣树底下的第三人。
一个脸上布满皱纹，头发散乱的白发老头子，眼中有着呆滞和茫然，仰着头躺在那里不知道在想些什么。
“他对我们讨论的东西并不感兴趣，也不在意我们吃掉他种的红枣，只喜欢一个人待着思考自己的问题。”
“虽然是个精神病老头，但没有什么攻击性，不像上个世界的毕达哥拉斯那样危险。”
李恒从那棵变得光秃秃的枣树上摘下最后几个红枣，塞到了身旁白发女孩的手掌心里。
“最后几个了，这可是康托尔亲手种下的好东西，比人参果还厉害的宝贝，闻一闻味道就能获得一念生灭多元宇宙的力量。”
虽然同样都是可数无穷，但无理代数数和自然数集合、有理数集合当然有很大区别。
用基数衡量力量层次是一种很粗糙的方法，在无限领域，即使是相同的基数，具备的力量也是天差地别。
这涉及到更复杂的超穷序数和超图灵机的力量层次，从可数无穷到不可数无穷之间还有着极度复杂的结构。
用有限世界的情况进行不太准确的类比，一个一千克的血肉大脑和一团一千克的棉花是不一样的，一百亿人组成的智慧文明和一块十亿吨重的石头也是不一样的。
“噢……这么厉害啊。”
阿基里斯仔细看了两眼，抬手就把这几颗珍贵的红枣塞进了嘴中，随意地嚼了两下就吞了下去。
味道确实比最初在地球上吃的烤牛排要好不少。
第718章 希尔伯特第一问
“离散和连续，可数无穷和不可数无穷，康托尔的研究在无穷领域中点亮了一丝曙光。”
“从古希腊时代以来一直存在于混沌之中，被人类认为是模糊且不可理解的实无穷因此有了具体的模样。”
“在数学领域中，康托尔的集合论与超穷数理论说是开天辟地也不为过。”
“其中最关键的一点就是，康托尔发现了无穷也是有不同的等级的。”
“既然有了第一个不同于可数无穷的无穷大，那么后面还有没有第二个、第三个甚至是无限多个？”
“康托尔对于直线、平面、立体的研究就是这个思想下的产物。”
李恒靠在那棵光秃秃的枣树下，将手中的一片树叶折叠成立体的形状。
“更多的维度需要更多的坐标进行确定，二维空间中的点应该多于一维直线上的点，因而空间上的点组成的集合应是比不可数集更大的等级。”
“这一点在微积分的计算中表现得很明显，一条无限长的直线与数轴围成的面积可以是一个有限值。”
“将一块面积有限的圆饼分割展开，能够形成一条无限长度的链条。”
“在高维空间中是有限大小的物体，在低维空间中却是无限大的，这似乎就是在说明，高维空间是更大的无穷大。”
“可惜，就像之前说过的那样，康托尔反而证明了维度的数量对于连续空间中的点集大小毫无影响。”
“在无穷大的世界里，人类直观的几何概念显然是毫无作用的。”
“为了寻找更大的基数，康托尔以集合论为基础重新出发，从每一个集合与自身子集之间的关系入手。”
一个集合{1，2，3}包含三个元素。
这个集合的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共有7个。
最后再加上空集空集，总共有2^3个子集。
类似的，可以证明对包含n个元素的集合，其子集的数量是2^n个。
这一点对于空集也是成立的。
空集中的元素为0，但空集也是自身的子集，因此空集的所有子集数量为1，也就是非空集合{空集}。
这种方法正是后来以集合论为基础生成自然数的方法。
空集，{空集}，{空集，{空集}}……这组序列就代表了自然数0，1，2……
利用空集作为一切的基础，生成整个自然数序列。
“事实上，2这个数字在这里有更丰富的意义。”
“为什么是2，而不是3或者10？”