作者：橘子汽水西瓜味
普通的街道，普通的行人，虽然有着不同于现代地球的风貌，但无论是人与物都与她以前所在的地球没什么区别。
“虽然看起来没什么区别，但这里的确与我们之前所在的世界不一样。”
“毕达哥拉斯统治的那个有理数世界位于0～1两个整数之间，我们现在所在的世界是位于两个有理数之间的无穷小区域。”
“这里是纯粹的无理数的世界，你眼前所能看到的这个世界里的任何一个物体，它们都容纳着无穷的信息，即使是自身无穷小的组成部分也一样。”
阿基里斯听着他话语中反复使用的“无穷小”，直觉感受到这里面有某些不太清晰的矛盾之处。
她低头看着自己手掌上像是理想的圆一样光滑、看不到最小尺度的皮肤，问出了心中的疑惑：
“有理数和整数不一样，它们在数轴上的分布是如此的稠密，以至于根本无法找到彼此紧挨着的下一个有理数。”
“如果说因为有了那个超图灵机的力量，所以能完成凡人不可能完成的任务，通过无限次切割，找到密密麻麻的有理数之间的空隙。”
“但为什么我们本应该已经走到了无限可分尽头的无理数世界，可这个世界看起来却依旧还可以继续无限分割下去？”
阿基里斯说到此处伸出手掌，一缕空气被她抓在掌心之中。
她微微用力，这团气体就像是普通的气体一样被捏碎，从她的指缝之间溜走。
明明已经是位于两个有理数之间无穷小的世界，却依旧还藏着无限个无穷小的基本组成部分。
并且，这每一个无穷小的基本组成部分都是一个容纳着实无穷序列的无理数。
如果还有着比无穷小更小的无穷小，那之前所谓的无穷小又算是什么？
“没错，在原始的穷竭法和早期的微积分之中，有着许多模糊不清的地方。”
“虽然它们在计算光滑图形的面积上很有效，但它们的理论基础却并不坚固，如同一座空中楼阁。”
李恒抬手从眼前划过，看着手掌的轨迹道：
“点动成线，在欧几里得的定义中，他将点称作是没有部分的东西。”
“一个没有大小的东西，这个东西的长度自然就是0。”
“但点动成线，无穷个点的组合却变成了有着某个具体且有限的长度的线。”
“古希腊人最讨厌的0和∞又在这里出现了，这种定义就和0×∞得出某个有限大小的数是一样的。”
“在早期的微积分中，就充斥着这种麻烦的问题，本质上是微积分没有能力处理无穷，无论是无穷大还是无穷小。”
“嗯，咱们边走边说。”
李恒拉着阿基里斯的手迈步向着街道对面走去。
这个白发女孩下意识地低头看向两人交叠在一起的手掌，回忆起最初地球上的那条街道。
还是一样的触感，但随着她一点一点理解了“运动”、“触碰”的难度，她对于人与人之间的接触也有了与之前完全不一样的理解。
“我见到的只是我眼中的他，我触碰到的手掌也只是我脑海中认知的感受。”
“人在这个世界上所能感受到的其他人与物，其实都只是自己脑海中的信息。”
“这大概就是所谓的心外无物，人终其一生所能感受到的仅有自己。”
从这恍惚间的思考中回过神来，阿基里斯收回视线，抬头看向面前出现的东西。
那是一幅二维平面直角坐标系，此刻漂浮在两人的面前，一条弯弯曲曲的曲线从原点出发，随着两人的步伐慢慢地向前移动。
“这是笛卡尔发明的坐标系，是解析几何的基础。它可以用来表示变量之间的关系，直观的看到函数的图像，将抽象的代数与直观的几何联系在一起。”
“这张坐标系上，横轴是时间t，纵轴是距离S。”
“从牛顿和莱布尼茨的微积分，到正式严谨的现代微积分，中间有很多复杂的东西可讨论。”
“不过这里不是高数课的课堂，所以用不着去学着计算那些麻烦的定积分、不定积分、常微分方程、偏微分方程。”
“现在要讨论的只是微积分和第二次数学危机的有关问题，这个问题与你的名字紧密相关。”
“从某种意义上来说，芝诺的思想其实太过超前。”
“正是他关于静止与运动、离散与连续的悖论中所涉及到的东西——无穷小量，引起了第二次数学危机。”
芝诺悖论和无穷小量。
阿基里斯低头看向自己胸前的粉白色螺旋状钥匙，望着那个在这无穷小的世界里仍旧看不到具体大小的尖端，她明白了过来。
0.99……，这是一个无穷级数。
想要让0.99……=1，就需要迈出最后的那一步，也就是加上一个大小为9/∞的数值。
无法处理的恼人的无穷又在这里出现了。
不仅仅是无穷小，还有那个让阿基里斯真正追上乌龟的最后一步的问题。
以有限的凡人的思想，这个无穷序列根本就没有所谓的最后一步。
就像是台灯悖论，一个台灯经过无限次开关后的状态是什么？
用数字表示，就是1-1+1-1……的无穷级数求和。
如果根据（1-1）+（1-1）……来计算，那么这个级数的和等于0。
如果根据1+（-1+1）+（-1+1）……，那么这个级数的和就等于1。
两种计算在数学上都是正当的，这个级数的和似乎既为1又不为1，但这是不可能的。
这是一种被称为振荡级数的发散级数，没有收敛的有限值。
∞是奇数还是偶数？
从这个震荡级数也能看出，无穷不是整数，没有奇偶性，也没有什么最后一步可言。
同样的，每一个无理数也根本没有什么最后一位的说法。
阿基里斯抬头看向面前漂浮着的平面坐标系上那条弯弯曲曲向上延伸的白色曲线道：
“所以，第一次数学危机是有关于无法数尽的无理数的无穷大的问题，第二次数学危机其实是有关于无穷小的问题？”
难怪说无穷大和无穷小是同样的麻烦，与无穷有关的东西就没有简单的。
李恒指着面前的平面直角坐标系道：
“函数中最简单的是线性关系，行走时匀速前进v=s/t，每一个时刻的速度都等于平均速度。”
“但实际上很难遇到这种理想的状况，从静止到运动有加速、从运动到静止有减速。”
“世界上到处都是非线性的事物，想要描述这种不均匀的非线性状态，就必须用到微积分。”
“速度等于距离除以时间，利用微分的无穷切割思想，要做的就是将这条曲线截取无穷小的一部分。”
“在这无穷小的一部分上，曲线变成了直线，因此就可以用之前计算线性运动的方式来计算瞬时速度。”
“v=ds/dt，曲线上每一点的瞬时速度就是这一点的切线的斜率。”
李恒将面前的平面直角坐标系放大，把路程中的其中一小段曲线挑选了出来。
“这段曲线的函数表达式是s=t^3”
“假设我们现在用无穷小的时间dt走出了一个无穷小的距离ds。”
“从而得到等式，S+ds=t^3+3t^2dt+3t（dt）^2+（dt）^3”
“然后，按照微积分的计算方式，因为等式右侧包含（dt）^2和（dt）^3的项是比无穷小更小的高阶无穷小，所以可以直接舍去，只保留等式中最低阶的无穷小dt和ds。”
“于是s+ds=t^3+3t^2dt，得出ds/dt=3t^2，这就是这条曲线的切线斜率。”
“这是微积分中很基本的导数计算，得出的结论也完美符合实际结果，无疑是正确的。”
“但是，发现里面的问题了吗？”
阿基里斯看看那个比无穷小更小的高阶无穷小，再看看那个ds/dt的式子，明白了那个模糊不清的问题在哪里了。
“0不能作为除数，所以dt不是等于0，同样的，（dt）^2也不是0。”
“不是0，却可以在等式的右侧当做0直接略去，并且依旧得出完全相等的结果。”
李恒点点头道：
“这就是牛顿和莱布尼茨的微积分中藏着的问题，无穷小量是一个极为奇怪的东西。”
“它可以作为除数，所以不是真的等于0，但它又必须像是0一样满足x+dx=x这样的方程。”
“我说的对吧，贝克莱主教？”
阿基里斯转头看向出现在两人身旁的这个男人。
他的头上戴着大大的黑色兜帽，穿着教会传统的黑色装束，表情严肃且认真，手中捧着厚厚的一堆传单，上面隐约可以看到“打倒牛顿霸权主义”、“推翻莱布尼茨暴政”的字样。
这位教会的主教此刻看着面前的两人，缓缓地点了点头，语气赞赏地道：
“说的不错，牛顿的流数术是先取Δs/Δt，这里的Δt当然不可以为零，但紧接着又令Δt为零来求得瞬时速度。那么这个Δt到底是不是零？”
“这些逐渐消失的增量是什么？它们既不是有限量，更不是空无，或许我们应该把它们称为消逝的幽灵更合适。”
“这些计算方法不过是隐晦的神秘物，它们是模糊和混乱的，是无理和荒谬的！”
第716章 无缝的实数轴
“愿主保佑你渡过美好的一天。”
这位贝克莱主教从手中捧着的那堆宣传单里抽出两张分别塞到两个人的手中，接着抬头看向天空中散发着无尽光和热的太阳。
在普通的整数世界中，那是一个熊熊燃烧的大火球，是给予人类营养的太阳。
在这个无理数世界里，天上光芒万丈的太阳其实是那两个占据了微积分源头的强者所投下的一丝倒影。
仅仅是这一丝倒影的力量就已经远远凌驾于真实界佛祖的尸体之上。
这个隐藏在无穷小空间里的无理数世界已经与超脱物质宇宙的信息世界很类似了。
以有限生灵的视角，完全无法区分两者的区别在哪里。
单纯从生灵的力量层次来看，这个无理数世界里的一草一木都比掌控一座次元世界的所谓大人物要强得多。
只不过在生命本质上，两者依旧没什么差别。
无法被认知和掌控的力量就算不上自己的力量。
一个普通人手中的游戏世界对应着一个无边无际的真实世界，他的日常玩乐就是这个世界里众生的天道宿命。
但这样掌握着上帝权限的人依旧还只是凡人罢了。
眼中能看到的世界只有那块小小的电子屏幕，而不是整个广阔无边的真实世界。
这份力量来自于超出自身认知范围的权限，他本身与被他掌控宿命的世间众生位于同一个位置，并没有什么高不可攀的地方。
两者的思维能力是等同的，掌控万物命运的普通人依旧还是普通人，算个加减乘除都要思考上好几秒，随便记几个电话号码都会让脑袋宕机。
智慧生物以自身胜过蠢笨动物的智慧而骄傲，毁灭与创生的伟力并不能让凡人信服，毕竟“我上我也行”。
想要成为神，必须拥有凡人永远不可企及的智慧，有能力解决凡人永远无法解决的难题，这才算得上是神。
“同样祝你好运，主教。”
李恒抬手和这个表情严肃的中年男人挥手告别，望着那渐渐远去的背影，随手就把手中的传单捏成一团扔进了一旁的垃圾桶里。
他不信宗教，无论是传统的上帝、三清、佛陀，还是最近比较流行的克苏鲁邪神。
他就是自己的主，自己保佑自己就行了。
阿基里斯见状也不犹豫，学着他的样子把那张传单扔到了垃圾桶里。
她也有免费请她吃饭的主了，不用信那个见都没见过的上帝。
“虽然是出于维护宗教信仰的目的而抨击微积分的基础问题，但这位主教的话是说得没错的，否则也不至于引起第二次数学危机。”
“如果承认一个既是0又不是0的奇怪的无穷小量，那么微积分的逻辑基础的确只是空中楼阁，与神学信仰无异。”
为了解决微积分的基础问题，有许多数学家做出了努力，比如达朗贝尔提出了建立在“极限”概念基础之上的微积分。
在处理导数时，他把dy/dx看成是有限项的商的极限，并且将这个商表示为z/u。
那么，dy/dx就是在假定z和u为实数并且不断减小时，比值越来越接近的量。
在这之后，柯西将极限的思想发扬光大。
当属于一个变量的相继的值无限地趋近某个固定值时，如果最终同固定值之差可以任意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限。
这是柯西有关于极限的定义。
再次回顾计算圆周率时使用的内接正多边形。
当一个圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积的极限就是这个圆的面积。